%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.21. French}

Soient $X$ une courbe algébrique lisse sur un corps $k$ de car.~0 et $V$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d'une connexion
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/k}(V).
\]

Soient $\bar{X}$ la courbe projective et lisse complétée de $X$ et $x_\infty \in \bar{X} - X$ un "point à l'infini" de $X$. L'anneau local $\mathcal{O}_{x_\infty}$ muni de
\[
d : \mathcal{O}_{x_\infty} \longrightarrow \Omega^1_{x_\infty}
\]
vérifie (1.4.1), et $V$ induit sur le corps des fractions $K$ de $\mathcal{O}_{x_\infty}$ (égal au corps des fonctions de $X$ pour $X$ connexe) un vectoriel $V_K$ muni d'une connexion au sens 1.2. On dira que la connexion de $V$ est \textbf{régulière en $x_\infty$} si cette connexion induite sur $V_K$ est régulière au sens 1.10.

Si $\bar{X}_1$ est une quelconque courbe contenant $X$ comme ouvert dense, et si $S \subset \bar{X}_1 - X$, on dit que la connexion $\nabla$ est régulière en $S$ si elle est régulière en tous les points de l'image réciproque de $S$ dans $\bar{X}$ (ceci a un sens, la normalisée de $\bar{X}_1$ s'identifiant à un ouvert de $\bar{X}$).

On dit enfin que la connexion $\nabla$ est \textbf{régulière} si elle est régulière en tous les points à l'infini de $X$.

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\subsection*{1.21. English}

Let $X$ be a smooth algebraic curve over a field $k$ of characteristic~0, and let $V$ be a vector bundle on $X$ equipped with a connection
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/k}(V).
\]

Let $\bar{X}$ be the smooth projective completion of $X$, and let $x_\infty \in \bar{X} \setminus X$ be a "point at infinity" of $X$. The local ring $\mathcal{O}_{x_\infty}$, together with the derivation
\[
d : \mathcal{O}_{x_\infty} \longrightarrow \Omega^1_{x_\infty},
\]
satisfies condition (1.4.1). Moreover, $V$ induces on the fraction field $K$ of $\mathcal{O}_{x_\infty}$ (which equals the function field of $X$ when $X$ is connected) a vector space $V_K$ endowed with a connection in the sense of 1.2. We say that the connection on $V$ is regular at $x_\infty$ if the induced connection on $V_K$ is regular in the sense of Definition 1.10.

If $\bar{X}_1$ is any curve containing $X$ as a dense open subset, and if $S \subset \bar{X}_1 \setminus X$, we say that the connection $\nabla$ is regular along $S$ if it is regular at every point in the inverse image of $S$ under the normalization map $\bar{X} \to \bar{X}_1$ (this makes sense, since the normalization of $\bar{X}_1$ identifies with an open subset of $\bar{X}$).

Finally, we say that the connection $\nabla$ is regular if it is regular at all points at infinity of $X$.
